Eratostenes

Über die Größe der Erde haben die Physiker oder Naturphilosophen verschiedene Meinungen, aber die des Poseidonios und Eratosthenes sind den übrigen vorzuziehen, letzterer zeigt die Größe der Erde durch eine geometrische Methode; die Methode des Poseidonios ist einfacher. Beide setzen gewisse Hypothesen voraus und kommen durch aus diesen folgende Schlüsse zu ihren Demonstrationen ...

Die Methode des Eratosthenes beruht auf geometrischen Beweisen und macht den Eindruck, dass man ihr etwas schwer folgen könne. Aber seine Darstellung wird klar werden, wenn wir folgendes vorausschicken

Wir nehmen an:

dass Syene und Alexandria auf demselben Meridiane liegen;
dass die Entfernung dieser beiden Städte 5000 Stadien beträgt;
dass die Strahlen, die von verschiedenen Teilen der Sonne nach den verschiedenen Teilen der Erde herabgesandt werden, einander parallel sind; denn dies ist die Hypothese, auf der die Geometer weiter bauen. Sodann müssen wir annehmen, dass, wie es die Geometer beweisen, parallele Geraden von einer sie schneidenden Geraden unter gleichen Wechselwinkeln geschnitten werden,
und dass die Bögen, die gleichen Zentriwinkeln entsprechen, ähnlich sind, das heißt dasselbe Verhältnis zu ihren eigenen Kreisumfängen besitzen, wie desgleichen die Geometer beweisen. Wenn immer also Kreisbögen gleichen Zentriwinkeln entsprechen, z.B. der eine 1/10 seines eigenen Kreisumfanges hat, so werden auch die anderen Bögen 1/10 ihrer Kreisperipherie betragen.

Jeder, der diese Dinge verstanden hat, wird keine Schwierigkeit haben, die Methode des Eratosthenes zu verstehen, die die folgende ist:

Syene und Alexandria liegen, wie gesagt, unter demselben Meridiane. Da Himmelsmeridiane die größten Kreise des Himmels sind, so sind die Erdkreise, die unter ihnen liegen, notwendigerweise auch größte Kreise. Also, welche Größe auch immer der Erdmeridian, der durch Syene und Alexandria geht, haben mag in dieser Berechnung, so groß ist auch der Erdumfang. Nun nimmt Eratosthenes an, und dies ist richtig, dass Syene unter dem Wendekreis des Sommers liegt. Wenn also die Sonne im Zeichen des Krebses zur Zeit der Sommersonnenwende genau in der Mitte des Himmels steht, so wird die Spitze des Weisers der Sonnenuhr keinen Schatten werfen, da die Sonne genau über ihm steht. Es wird berichtet, dass dies für einen Durchmesser von 300 Stadien zutreffe. Zu derselben Zeit aber wirft in Alexandria die Spitze des Gnomons einen Schatten, weil Alexandria nördlich von Syene liegt. Die beiden Städte liegen unter demselben Meridian. Wenn man also einen Bogen von der Spitze des Schattens nach der Basis des Gnomons in Alexandria zieht, so wird dieser Bogen ein Segment des größten Kreises in der Sonnenuhr sein, da die Kugel der Uhr unter dem größten Kreis-Meridian liegt. Wenn wir nun gerade Linien annehmen, die von jeder der Spitzen durch die Erde gehen, so werden sie sich im Erdmittelpunkt treffen. Da nun die Sonnenuhr in Syene senkrecht unter der Sonne steht, so wird, wenn man eine Gerade annimmt, die von der Sonne zur Spitze des Gnomons geht, diese Linie von der Sonne bis zum Erdmittelpunkt mit dem Erdradius zusammenfallen. Wenn wir eine andere gerade Linie annehmen, die von dem Ende des Schattens durch die Spitze selbst nach der Sonne geht, so werden diese und die vorhergenannte gerade Linie parallel sein, da sie Gerade sind, die von verschiedenen Teilen der Sonne nach verschiedenen Punkten der Erde gehen. An diese geraden Linien, die parallel sind, trifft die Gerade, die vom Erdmittelpunkt zur Spitze des Gnomons in Alexandria gezogen wird, so, dass die Wechselwinkel, die sie bildet, gleich sind. Einer dieser Winkel liegt am Erdmittelpunkt und zwar zwischen den Geraden, die von den Sonnenuhren nach dem Erdmittelpunkt gehen. Der andere Winkel in Alexandria liegt am Punkte des Schnittes der Spitze und der Geraden, die man von dem Ende ihres Schattens nach der Sonne durch die Spitze selbst zieht. Nun, über letzterem liegt der Bogen, der von dem Endpunkt des Schattens bis zur Basis des Gnomons geht, während über dem Winkel am Erdmittelpunkt der Bogen von Alexandria nach Syene liegt. Beide Bögen sind ähnlich, da sie gleichen Zentriwinkeln gegenüber stehen. Welches Verhältnis also der Bogen in der Kugel der Sonnenuhr zu seinem Kreise hat, dasselbe Verhältnis zeigt der Bogen von Alexandria nach Syene zu seinem eigenen Kreise, dem Umfang der Erde. Der Bogen in der Halbkugel der Sonnenuhr wurde als 1/50 seines Kreises gefunden. Also muss der Abstand von Syene nach Alexandria notwendiger Weise 1/50 des größten Kreises des Erdumfanges betragen. Diese genannte Entfernung beträgt 5000 Stadien; also misst der größte Kreis 250 000 Stadien.
- Dies ist die Methode des Eratosthenes.

Kleomedes, de motu circulari corporum coelestium, I, 10,50. Übersetzung von Heinrich Balss

Daß Eratostenes nur mit dem Wissen,

1.) daß zweimal im Jahr die Sonne senkrecht über Syene steht oder sich
in einem Brunnen spiegelt

2.) seiner Entfernung zur Bibliothek in Alexandria und

3.) daß dieser im Süden von Alexandria liegt, also in etwa auf dem
gleichen Meridian

     ohne seine Bibliothek zu verlassen ca. 250 v. C. den Erdumfang
     recht genau nur mit dem Schatten der Sonne bestimmt hat, ist
                                        genial!

Hier ein Link zum Anschauen des Eratosthenes Kraters. Mit dem Anklicken des Kreuzes oben rechts geht ein Fenster auf, in welchem verschiedene Satellitensichten und Einstellungen ausgesucht werden können. Bei "Feature Boundaries" den Haken weg löscht die grüne Hinterlegung.

Hier die Ausführung des Poseidonios.
Es heißt, daß Rhodos und Alexandria auf dem gleichen Meridian liegen. Meridiane sind solche Kreise, die von Pol zu Pol gehen und über den Scheitel des Beobachters hinweggehen. Die Pole sind für alle Beobachtungsorte die gleichen, der Punkt über dem Scheitel des Beobachters dagegen hängt von der Lage des Beobachtungsortes ab. Daher lassen sich unendlich viele Meridiane konstruieren. Rhodos und Alexandria nun liegen unter demselben Meridian. Der Abstand
zwischen den beiden Städten wird auf 5000 Stadien geschätzt. Es möge voraus geschickt werden, daß das zutrifft. Alle Meridiane sind nun Teile von Großkreisen des Himmelsgewölbes. Sie gehen durch die Pole und teilen das Himmelsgewölbe in zwei gleiche Teile. Nun teilt Poseidonios den Tierkreis, dessen Länge den Meridianen gleich ist, da ja auch er die Welt in zwei gleiche Teile teilt, in achtundvierzig gleiche Teile, also jedes Zwölftel des Tierkreises in vier gleiche Teile. Wenn nun auch der Meridian von Rhodos und Alexandria in achtundvierzig gleiche Teile geteilt wird, so sind diese Teile ebenso groß wie die Teile des Tierkreises. Denn wenn gleiche Größen in gleichviele gleiche Teile geteilt werden, so sind auch diese Teile einander gleich. Poseidonios sagt nun, daß im Süden ein sehr heller Stern der Kanopus im Steuer des Schiffes Argo sei. Dieser kann in Griechenland nicht gesehen werden. Daher erwähnt seiner auch Aratos in den "Phaenomena" nicht. Wenn jemand nun von Norden nach Süden geht, so erblickt er ihn zum ersten Mal in Rhodos, und zwar geht er infolge der Drehung des Himmels unmittelbar nach seinem Aufgang wieder unter. Sobald wir nun die 5000 Stadien von Rhodos gefahren und in Alexandria angekommen sind, hat der Stern zur Zeit seiner Kulmination eine Höhe gleich dem vierten Teile eines Zwölftels des Tierkreises, also gleich dessen 48ten Teile. Es folgt also, daß das Stück des Meridians, das über der Strecke zwischen Rhodos und Alexandria gelegen ist, der 48ste Teil des ganzen Meridians ist, weil der Horizont der Rhodier und der Horizont der Bewohner von Alexandria um den 48sten Teil des Bogens der Kreisperipherie voneinander abweichen. Da nun die Strecke auf der Erde, die diesem Bogen des Himmelsmeridians entspricht, auf 5000 Stadien geschätzt wird, so ergibt sich, daß auch die übrigen Strecken auf der Erde, die den übrigen 47 Teilen des Meridians entsprechen, 5000 Stadien lang sind. Und so wird die Länge des größten Kreises der Erde zu 240000 Stadien gefunden, vorausgesetzt, daß Rhodos von Alexandria 5000 Stadien entfernt ist. Wenn dies aber nicht der Fall ist, so verändert sich dementsprechend der Umfang der Erde.